起诉肇事逃逸司机的流程如下：首先，收集相关证据，包括事故现场照片、视频、警方的事故认定书、医疗费用清单、误工证明等，这些证据对于后续的诉讼至关重要。其次，撰写起诉状，明确原告与被告的基本信息，阐述诉讼请求，如要求被告赔偿医疗费、误工费、护理费等损失，并说明事实与理由，即事故发生的经过及肇事逃逸情况。然后，向有管辖权的法院提交起诉状及证据材料。一般是事故发生地或被告住所地的法院。法院受理后，会通知双方当事人开庭时间与地点。开庭审理阶段，原告需阐述诉讼请求及事实理由，被告进行答辩。双方可进行举证、质证，法院会根据双方提供的证据及陈述进行审理。最后，法院会根据审理结果作出判决。若原告胜诉，被告应按照判决履行赔偿义务；若被告不服判决，可在规定期限内上诉，进入二审程序。整个起诉流程需严格依照法律规定进行，以维护自身合法权益。

以上是律师的法律建议，如有疑问，欢迎进一步咨询。